Question

11．若對任意的x∈[0，1]，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$≤1-bx恒成立，則a的最小值為$\frac{1}{2}$，b的最大值為1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 分類討論，并構(gòu)造函數(shù)，f（x）=1-$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$，證明$\frac{1}{x}$f（x）在（0，1]為減函數(shù)，問題得以解決．

解答 解：對任意的x∈[0，1]，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$≤1-bx恒成立，
當x=0時，不等式顯然成立，
設f（x）=1-$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$，
當x∈（0，1]時，等價于$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{x}f（x）}\\{b≤\frac{1}{x}f（x）}\end{array}\right.$恒成立，
顯然f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，
∵$\frac{1}{x}$f（x）=$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{\sqrt{x+1}}$）=$\frac{1}{x}•\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}}$=$\frac{1}{x}$•$\frac{x}{\sqrt{x+1}（\sqrt{x+1}+1）}$=$\frac{1}{x+1+\sqrt{x+1}}$，
∴$\frac{1}{x}$f（x）在（0，1]為減函數(shù)，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{x}$f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，且b≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴a的最小值為$\frac{1}{2}$，b的最大值為1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查了恒成立的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．