Question

9．如圖，AB為圓O的直徑，BC為圓O的切線，連結(jié)AC交圓O于D，P為AD的中點(diǎn)，過(guò)P作不同于AD的弦交圓O于M、N兩點(diǎn)，若BC=6，CD=4
（Ⅰ）求MP•NP的值
（Ⅱ）求證：∠C=∠AMD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割線定理、相交弦定理，即可求MP•NP的值
（Ⅱ）證明∠C=∠DBA，∠DBA=∠AMD，即可證明∠C=∠AMD．

解答 （Ⅰ）解：因?yàn)锽C為圓O的切線，所以BC²=CD•AC，
因?yàn)锽C=6，CD=4
所以AC=9，
所以AD=5，
因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)，
所以AP=PD=$\frac{5}{2}$
所以MP•NP=AP•PD=$\frac{25}{4}$
（Ⅱ）證明：連接BD，則∠ABC=90°，
所以∠C+∠CAB=90°，
因?yàn)锳B為直徑，
所以∠ADB=90°，
所以∠CAB+∠DBA=90°，
所以∠C=∠DBA，
因?yàn)椤螪BA=∠AMD，
所以∠C=∠AMD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切割線定理、相交弦定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用切割線定理、相交弦定理是關(guān)鍵．