Question

（1）求離心率為，且與雙曲線有公共焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）求一條漸近線為2x+3y=0且焦點到漸近線的距離為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓與雙曲線有公共焦點，且雙曲線的焦點為（，0），
∴設(shè)橢圓的方程為，滿足a²-b²=5…①
又∵橢圓離心率為，∴=…②
聯(lián)解①②，得，故所求橢圓的方程為
（2）∵雙曲線的一條漸近線方程為2x+3y=0，
∴設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為4x²-9y²=λ，
化成標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1（λ＞0）或-=1（λ＜0）
∵雙曲線焦點到漸近線的距離為2，可得b=2
∴當(dāng)λ＞0時，=4可得λ=36，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)λ＜0時，=4可得λ=-16，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
綜上所述，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或
分析：（1）根據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為，可得c==且=，聯(lián)解可得a、b的值，從而得到所求橢圓的方程；
（2）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4x²-9y²=λ，根據(jù)λ＞0和λ＜0時兩種情況加以討論，分別解關(guān)于λ的方程，可得λ的值，代入所設(shè)方程再化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得到所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．