Question

19．設(shè)x，y，z＞0，滿足xyz+y²+z²=8，則log₄x+log₂y+log₂z的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 直接利用基本不等式求得xy²z²≤8，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)求得log₄x+log₂y+log₂z的最大值

解答 解：∵x、y、z＞0，xyz+y²+z²=8
∴xy²z²=yz[8-（y²+z²）]≤yz（8-2yz）=2yz（4-yz）≤2（$\frac{yz+4-yz}{2}$）²=8，當(dāng)且僅當(dāng)y=z=$\sqrt{2}$，x=2時等號成立
∴l(xiāng)og₄x+log₂y+log₂z=log₄xy²z²≤log₄8=$\frac{3}{2}$
故答案為：$\frac{3}{2}$

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，訓(xùn)練了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，是中檔題