Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD， AD∥BC，∠ABC=，AB=PA=AD=a，cos∠ADC=， （1）求點D到平面PBC的距離；             （2）求二面角C-PD-A的正切值。

Answer 1

解：（1 ）如圖，在四棱錐P-ABCD中， ∵BC∥AD，從而點D到平面PBC間的距離等于點A到平面PBC的距離， ∵∠ABC=， ∴AB⊥BC， 又PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥BC， ∴BC⊥平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PBC，交線為PB， 過A作AE⊥PB，垂足為E，則AE⊥平面PBC， ∴AE的長等于點D到平面PBC的距離，而AB=PA=a， ∴AE=， 即點D到平面PBC的距離為。   （2）∵PA⊥底面ABCD， ∴平面PAD⊥底面ABCD，        引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，則CM⊥平面PAD， ∴MN是CN在平面PAD上的射影， 由三垂線定理可知CN⊥PD， ∴∠CNM是二面角C-PD-A的平面角， 依題意， ∴， ∴BC=a，        可知， ∴， ，        ∴二面角C-PD-A的正切值為。