Question

3．給出下列四個(gè)命題：
（1）方程x²+y²-2x-1=0表示的是圓；
（2）動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為一定長(zhǎng)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
（3）拋物線x=2y²的焦點(diǎn)坐標(biāo)是$（{\frac{1}{8}，0}）$；
（4）若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的離心率為e，且1＜a＜2，則k的取值范圍是k∈（-12，0）
其中正確命題的序號(hào)是（1）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1），（2），（3）可直接根據(jù)圓錐曲線的定義進(jìn)行判斷；
（4）可利用離心率的定義得出1＜$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$＜2，求出k的范圍．

解答 解：（1）方程x²+y²-2x-1=0可整理為（x-1）²+y²=2表示的是圓，故正確；
（2）動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為一定長(zhǎng)，且大于兩頂點(diǎn)間的距離時(shí)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，故錯(cuò)誤；
（3）拋物線x=2y²整理得y²=$\frac{1}{2}$x，得焦準(zhǔn)距p=$\frac{1}{4}$，得焦點(diǎn)坐標(biāo)是$（{\frac{1}{8}，0}）$，故正確；
（4）若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的離心率為e，且1＜e＜2，
∴1＜$\frac{\sqrt{4-k}}{2}$＜2，
∴-12＜k＜0．故正確．
故答案為（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 考查了圓錐曲線的定義，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率的求解．屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．