Question

已知f(x)=,對(duì)n∈N₊,試比較f()與的大小，并說(shuō)明理由.

Answer 1

思路分析：利用分析法探求需要推理證明的關(guān)系，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解：設(shè)F(n)=,

f()=1-,

    因而只需比較2ⁿ與n²的大小.

n=1時(shí)，2¹＞1²;n=2時(shí)，2²=2²;n=3時(shí),2³＜3²,n=4時(shí),2⁴=4²,n=5時(shí),2⁵＞5²,猜想n≥5時(shí),2ⁿ＞n²,簡(jiǎn)證2^k＞k²(k≥5),則當(dāng)n=k+1時(shí),

2^k+1=2×2^k＞2×k²

=k²+k²+2k+1-2k-1

=(k+1)²+(k-1)²-2

＞(k+1)².

綜上所述，n=1或n≥5時(shí)，f()＞;

n=2或4時(shí),f()=;n=3時(shí)，f()＜.