Question

4．已知x，y為正實數(shù)，若x+2y=1，則$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+x}{xy}$的最小值為2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 化簡$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+x}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{1}{y}$=2$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+2，從而利用基本不等式求解即可．

解答 解：$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+x}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{1}{y}$
=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+$\frac{x+2y}{y}$=2$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$+2
≥2$\sqrt{2}$+2，
（當(dāng)且僅當(dāng)2$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{x}$，即x=$\frac{1}{2\sqrt{2}+1}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}$時，等號成立）；
故答案為：2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，注意“一正二定三相等”即可．