Question

11．已知曲線${C_1}：\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）$
（1）寫出曲線C₁的參數(shù)方程與曲線C₂的普通方程；
（2）設(shè)P為曲線C₁上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最大值，并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁的普通方程能寫出曲線C₁的參數(shù)方程，由曲線C₂的參數(shù)方程能寫出曲線C₂的普通方程．
（2）C₁與C₂聯(lián)立，利用根的判別式得到橢圓C₁與直線C₂無公共點(diǎn)，再求出橢圓上的點(diǎn)$P（{\sqrt{3}cosα，sinα}）$到直線x+y-8=0的距離，由此利用三角函數(shù)知識能求出點(diǎn)P到C₂上點(diǎn)的距離的最大值，并能求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵曲線${C_1}：\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
∴曲線C₁的參數(shù)方程：$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（{α為參數(shù)}）$…（2分）
∵曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（{t為參數(shù)}）$
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}t=6-x$，y=2+6-x，
∴曲線C₂的普通方程：x+y-8=0．…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{x+y-8=0}\end{array}\right.$，得：4x²-48x+189=0，
△=48²-4×4×189=-720＜0，
∴橢圓C₁與直線C₂無公共點(diǎn)，
橢圓上的點(diǎn)$P（{\sqrt{3}cosα，sinα}）$到直線x+y-8=0的距離：
$d=\frac{{|{\sqrt{3}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2sin（{α+\frac{π}{3}}）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$…（7分）
∴當(dāng)$sin（α+\frac{π}{3}）=-1$時，d的最大值為$5\sqrt{2}$，…（9分）
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}）$． …（10分）

點(diǎn)評 本題考查曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．