Question

四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．已知，，，．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過作，垂足為，連結(jié)，根據(jù)側(cè)面底面，得底面．應(yīng)用三垂線定理，得．（Ⅱ）立體幾何中的角的計(jì)算，一般有兩種思路，一是直接法，通過“一作，二證，三計(jì)算”等步驟，計(jì)算角；二是“間接法”，如利用圖形與其投影的面積關(guān)系，確定角.本題首先設(shè)到平面的距離為，根據(jù)，求得．進(jìn)一步確定，將角用反正弦函數(shù)表示.

試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102623184303605707/SYS201310262319372151299326_DA.files/image015.png">，所以，

又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，

故，由，，，得

，．

的面積．

連結(jié)，得的面積

設(shè)到平面的距離為，由于，得

，

解得．

設(shè)與平面所成角為，則．

所以，直線與平面所成的角為

考點(diǎn)：垂直關(guān)系、平行關(guān)系，角的計(jì)算.