Question

10．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{6}$），直線l過(guò)點(diǎn)A且與極軸成角為$\frac{π}{6}$．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）寫(xiě)出直線l的直線方程，并把圓C的方程化成直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線圓C交于B，C兩點(diǎn)，求|AB|•|AC|的值．

Answer 1

分析 （1）展開(kāi)把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$代入可得直角坐標(biāo)方程．
（2）①由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x可得參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：$2{t}^{2}+（7-\sqrt{3}）t$+$6-2\sqrt{3}$=0，利用|AB|•|AC|=|t₁t₂|即可得出．
②聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=x+y}\end{array}\right.$，化為4x²-$（3\sqrt{3}+3）$x+6=0，△，0，無(wú)解，舍去．

解答 解：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{6}$），化為直角坐標(biāo)A$（2cos\frac{π}{6}，2sin\frac{π}{6}）$，即A$（\sqrt{3}，1）$．
∴直線l的方程為y-1=±（x-$\sqrt{3}$）$tan\frac{π}{6}$，化為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$），展開(kāi)為${ρ}^{2}=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ+ρsinθ），
化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=x+y．
（2）①由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x可得參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：$2{t}^{2}+（7-\sqrt{3}）t$+$6-2\sqrt{3}$=0，
∴|AB|•|AC|=|t₁t₂|=3-$\sqrt{3}$．
②聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=x+y}\end{array}\right.$，化為4x²-$（3\sqrt{3}+3）$x+6=0，△，0，無(wú)解，舍去．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線與圓相交問(wèn)題、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．