Question

設函數f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）當a=b=時，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+ax²+bx+（0＜x≤3），以其圖象上任意一點P（x，y）為切點的切線的斜率k≤恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-1時，方程2mf（x）=x²有唯一實數解，求正數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（I ）先求定義域，再研究單調性，從而求最值．
（II）先構造函數F（x）再由以其圖象上任意一點P（x，y）為切點的切線的斜率k≤恒成立，知導函數≤恒成立，再轉化為所以求解．
（III）先把程2mf（x）=x²有唯一實數解，轉化為所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解，再利用單調函數求解．
解答：解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．（1分）
當時，，
．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減．（3分）
所以f（x）的極大值為，此即為最大值．（4分）
（Ⅱ），
所以，在x∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以，x∈（0，3]（7分）
當x=1時，取得最大值．所以a≥．（9分）
（Ⅲ）因為方程2mf（x）=x²有唯一實數解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實數解．
設g（x）=x²-2mlnx-2mx，則．
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
因為m＞0，x＞0，
所以（舍去），，（10分）
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）單調遞減，
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調遞增．
當x=x₂時，g′（x₂）=0g（x），g（x₂）取最小值g（x₂）．（11分）
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則，即
所以2mlnx₂+mx₂-m=0，
因為m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（12分）
設函數h（x）=2lnx+x-1，
因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．（13分）
因為h（I）=0，所以方程的解為（X₂）=1，即，
解得（14分）
點評：本題主要考查函數的單調性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識，同時考查運用導數研究函數性質的方法，分類與整合及化歸與轉化等數學思想．