Question

18．已知函數(shù)f（x）=axlnx+b，g（x）=x²+kx+3，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）若f（x）在（b，m）上有最小值，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，若關(guān)于x的不等式2f（x）+g（x）≥0有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最小值，求出m的范圍即可；
（2）問題等價于不等式k≥-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有解，設(shè)h（x）=-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=a（lnx+1），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{f′（1）=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，
故f′（x）=lnx+1，
當(dāng)f′（x）＞0，即x＞$\frac{1}{e}$時，f（x）遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即0＜x＜$\frac{1}{e}$時，f（x）遞減，
∵f（x）在（0，m）上有最小值，
∴m的范圍是（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）關(guān)于x的不等式2f（x）+g（x）≥0在x∈[$\frac{1}{e}$，e]有解
等價于不等式k≥-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
設(shè)h（x）=-$\frac{2xlnx{+x}^{2}+3}{x}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，h′（x）=-$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
當(dāng)h′（x）＞0即$\frac{1}{e}$＜x＜1時，h（x）遞增，當(dāng)h′（x）＜0，即1＜x＜e時，h（x）遞減，
又h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{{3e}^{2}-2e+1}{e}$，h（e）=-$\frac{{e}^{2}+2e+3}{e}$，
∴h（$\frac{1}{e}$）-h（e）＜0，
故h（x）_min=h（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{{3e}^{2}-2e+1}{e}$，
∴k≥-$\frac{{3e}^{2}-2e+1}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．