Question

設x，y滿足約束條件
（1）求z=3x+y的最小值；
（2）Z=x²+y²的最大值．

Answer 1

解：（1）由約束條件畫出可行域如圖：
目標函數(shù)z=3x+y可化為：y=-3x+z
得到一簇斜率為-3，截距為z的平行線
要求z的最大值，須滿足截距最小，
∴當目標函數(shù)過點B（-2，-2）時截距最小，
∴z的最小值為：3×（-2）-2=-8．
（2）根據(jù)畫出可行域，
z=x²+y²，表示可行域內(nèi)點到原點距離OP的平方，
當P在點A（3，-2）時，z最大，最大值為3²+（-2）²=13，
故Z=x²+y²的最大值為13．
分析：（1）先根據(jù)約束條件畫出可行域，再轉(zhuǎn)化目標函數(shù)，把求目標函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化成求截距的最值問題，找到最優(yōu)解代入求值即可；
（2）本題屬于線性規(guī)劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數(shù)的最值，而是求可行域內(nèi)的點與原點（0，0）構(gòu)成的線段的長度問題．
點評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎，縱觀目標函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．