Question

14．設(shè)$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，$\overrightarrow{AB}=（a-1）\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{AC}=b\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，a＞0，b＞0．若A，B，C三點(diǎn)共線，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值是4．

Answer 1

分析 根據(jù)三點(diǎn)關(guān)系，建立條件關(guān)系，求出a，b的關(guān)系式，利用1的代換，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0．若A，B，C三點(diǎn)共線，
∴設(shè)$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AC}$，
即（a-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=x（b$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∵$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=xb}\\{1=-2x}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{1}{2}$，a-1=-$\frac{1}{2}$b，
即a+$\frac{1}{2}$b=1，
則$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（a+$\frac{1}{2}$b）=1+1+$\frac{2a}$+$\frac{2a}$≥2$+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{2a}{2b}}$=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2a}$=$\frac{2a}$，即b=2a，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$時(shí)，取等號(hào)，
故最小值為4，
故答案為：4；

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)向量關(guān)系求出a，b的關(guān)系，以及利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．