Question

定義：對函數y=f（x），對給定的正整數k，若在其定義域內存在實數x₀，使得f（x₀+k）=f（x₀）+f（k），則稱函數f（x）為“k性質函數”．
（1）若函數f（x）=2^x為“1性質函數”，求x₀；
（2）判斷函數f(x)=

1

x

是否為“k性質函數”？說明理由；
（3）若函數f(x)=lg

a

x2+1

為“2性質函數”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（本題滿分（16分），第（1）小題（4分），第2小題（6分），第3小題6分）
（1）由f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得2x0+1=2x0+2，…（2分）
∴2x0=2，∴x₀=1．                                           …（4分）
（2）若存在x₀滿足條件，
則

1

x0+k

=

1

x0

+

1

k

即x02+kx0+k2=0，…（7分）
∵△=k²-4k²=-3k²＜0，∴方程無實數根，與假設矛盾．
∴f(x)=

1

x

不能為“k性質函數”．                                …（10分）
（3）由條件得：lg

a

(x0+2)2+1

=lg

a

x 20 +1

+lg

a

5

，…（11分）
即

a

( x 20 +2)2+1

=

a2

5( x 20 +1)

（a＞0），
化簡得(a-5)

x

20

+4ax0+5a-5=0，…．（13分）
當a=5時，x₀=-1；                                                …（14分）
當a≠5時，由△≥0，
16a²-20（a-5）（a-1）≥0即a²-30a+25≤0，
∴15-10

2

≤a≤15+10

2

．
綜上，a∈[15-10

2

，15+10

2

]                             …（16分）