Question

直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求四面體的體積．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)先證AB⊥平面BB₁C₁C.又Ｎ、Ｆ分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點(diǎn)，證出NF⊥平面BB₁C₁C. NF⊥FC .

證得FC⊥平面NFB.  

(Ⅱ)．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,

B₁B⊥AB, BC⊥AB,又B₁BBC=B，

∴AB⊥平面BB₁C₁C.

又Ｎ、Ｆ分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點(diǎn)

∴AB∥A₁B₁∥NF.

∴NF⊥平面BB₁C₁C.

因?yàn)镕C平面BB₁C₁C.所以NF⊥FC .

取BC中點(diǎn)G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC ，又 NFFB=F，

∴FC⊥平面NFB.           7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,,

．            14分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，體積計(jì)算。

點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，若利用向量則可簡化證明過程。（2）體積計(jì)算中，運(yùn)用了“等積法”。