Question

6．若?x＞0，$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$≤x-lnx恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

Answer 1

分析 x＞0，$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$≤x-lnx化為a≤x²+1-$（x+\frac{1}{x}）$lnx=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：∵x＞0，$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$≤x-lnx化為a≤x²+1-$（x+\frac{1}{x}）$lnx=f（x），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$（\frac{1}{{x}^{2}}-1）$lnx，
可知：當(dāng)x=1時(shí)，f′（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=2，
∴a≤2，
故答案為：（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值、恒成立問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．