Question

20．已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求∠A；
（2）若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b、c；
（3）若a=2，求b+c的范圍．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，將sinB=sin（A+C）代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)sinC不為0，再利用萬能公式化簡(jiǎn)求出tan$\frac{A}{2}$的值，即可確定出A的度數(shù)．
（2）由△ABC的面積為$\sqrt{3}$，解得bc=4．①由已知結(jié)合余弦定理可得b²+c²=8．②，由①解得b代入②可得c，b的值．
（3）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關(guān)系求出b+c的范圍．

解答 解：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，即$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan$\frac{A}{2}$=$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面積為$\sqrt{3}$，∴$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，可解得：bc=4．①
∵a=2，∴由余弦定理可得：4=b²+c²-2bccosA，可解得：b²+c²=8．②
∴由①解得b=$\frac{4}{c}$，代入②可得：c=2，從而解得，b=2．
（3）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則4=b²+c²-bc，∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化簡(jiǎn)得，（b+c）²≤16（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
則b+c≤4，又b+c＞a=2，
綜上得，b+c的取值范圍是（2，4]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，三角形的邊角關(guān)系式，以及基本不等式求最值，考查分析問題、解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．