Question

（21）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且

（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.

Answer 1

21．解：（Ⅰ）由已知

∴

兩式相減，得

，

即，

從而，

當(dāng)時(shí)

∴

又，∴，

從而     

故總有，、

又∵

∴

從而

即是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

從而   

=

=-

=

=

=。

由上  

-

=

=12               （*）

當(dāng)時(shí)，（*）式=0

∴；

當(dāng)時(shí)，（*）式=－12

∴

當(dāng)時(shí)，

又

∴

即（*）

從而

  （或用數(shù)學(xué)歸納法：n≥3時(shí)，猜想  

      由于n-1>0，只要證明2ⁿ>2n+1。事實(shí)上，

      1*     當(dāng) n=3時(shí)，2³>2×3+1

      不等式成立，

      2*  設(shè)n=k時(shí)（k≥3），有2^k>2k+1

      則   2^k+1>2(2k+1)

             =4k+2

             =2(k+1)+1+(2k-1).

∵k≥3，∴2k-1>0.

從而  2^k+1>2(k+1)+1+(2k-1)

          >2(k+1)+1

即   n=k+1時(shí)，亦有  2ⁿ>2n+1.

綜上1*、2*知，2ⁿ>2n+1  對(duì)n≥3，n∈N* 都成立。

∴n≥3時(shí)，有）

綜上    n=1時(shí)，

        n=2時(shí)，

        n≥3時(shí)，