Question

如圖所示,M、N、P分別是正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的點.

(1)若,求證:無論點P在DD₁上如何移動,總有BP⊥MN.

(2)若D₁P∶PD=1∶2,且PB⊥平面B₁MN,求二面角NB₁MB的大小.

(3)在棱DD₁上是否存在這樣的點P,使得平面APC₁⊥平面ACC₁?證明你的結論.

Answer 1

(1)證明：以DA、DC、DD₁所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,如右圖所示.

設正方體棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C₁(0,1,1).

設M(1,1-x,0),N(1-x,1,0),P(0,0,z),則

=(-x,x,0),=(-1,-1,z).

=x-x=0,∴BP⊥MN.

(2)解：由條件知P(0,0,),=(-1,-1,),=(-1,0,0),

、分別為面B₁MN、面B₁MB的法向量.

∴二面角N-B₁M-B的大小等于〈,〉,

cos〈,〉=

∴〈,〉=arccos.

所求二面角的大小為arccos.

(3)解：不妨假設存在點P,則在平面ACC₁內過C作CE⊥AC₁,垂足為E.

設P(0,0,z),=(-1,0,z),

λ(-1,1,1),

=(-λ+1,λ-1,λ),

由

再由

∴P為DD₁中點,此時CE⊥AP.

故CE⊥平面APC₁.

又CE平面ACC₁,

∴平面APC₁⊥平面ACC₁.