Question

1．已知等差數列{a_n}中，a₁=3，a₂=6；設${b_n}={2^{a_n}}$，數列{b_n}的前n項和為${S_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，若存在，求出n，t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₁=3，a₂=6，可得d=3．利用等差數列的通項公式即可得出．
（II）由（I）可得：${b_n}={2^{a_n}}$=8ⁿ．可得S_n=$\frac{8}{7}（{8}^{n}-1）$．假設存在正整數n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，可得$\frac{{8}^{n}（8-7t）-8}{{8}^{n+1}（8-7t）-8}$＜$\frac{1}{16}$，對n，t分類討論，利用不等式的性質、指數冪的運算性質化簡整理即可判斷出結論．

解答 解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，∵a₁=3，a₂=6，∴d=6-3=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
（II）由（I）可得：${b_n}={2^{a_n}}$=2³ⁿ=8ⁿ．
∴S_n=$\frac{8（{8}^{n}-1）}{8-1}$=$\frac{8}{7}（{8}^{n}-1）$．
假設存在正整數n，t，使得$\frac{{{S_n}-t{b_n}}}{{{S_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，
∴$\frac{{8}^{n}（8-7t）-8}{{8}^{n+1}（8-7t）-8}$＜$\frac{1}{16}$，
當t=1時，化為：$\frac{{8}^{n}-8}{{8}^{n+1}-8}$＜$\frac{1}{16}$，當n=1時，0＜$\frac{1}{16}$成立．
當n≥2時，8ⁿ⁺¹-8ⁿ＜1不成立．
當t≥2時，化為：15＜-8ⁿ（7t-8），不成立．
綜上可得：只有t=n=1時成立．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、不等式的性質、指數冪的運算性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．