Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試比較的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)a_n的首項為a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴
∴a_n=2n-1
n=1時，
∴
n≥2時，，，
兩式相減得 數(shù)列是等比數(shù)列，
∴
（2）∵S_n==n²，∴S_n+1=（n+1）²，=．
以下比較與S_n+1的大�。�
當(dāng)n=1時，=，S₂=4，∴＜S₂，當(dāng)n=2時，=，S₃=9，∴＜S₃，
當(dāng)n=3時，=，S₄=16，∴＜S₄，
當(dāng)n=4時，=，S₅=25，∴＞S₅．猜想：n≥4時，＞S_n+1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=4時，已證．
②假設(shè)當(dāng)n=k （k∈N^*，k≥4）時，＞S_k+1，即＞（k+1）²．
那么n=k+1時，==3•＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1時，＞S_n+1也成立．由①②可知n∈N^*，n≥4時，＞S_n+1都成立
綜上所述，當(dāng)n=1，2，3時，＜S_n+1，當(dāng)n≥4時，＞S_n+1．
分析：（1）由于數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，故只需求出首項和公差就可求其通項公式；由數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n 通過遞推然后兩式相減可求得b_n．
（2）利用等差數(shù)列求和公式得出S_n，S_n+1．以下分別令n=1，2，3，4．比較與S_n+1的大小，再猜想：n≥4時，＞S_n+1．最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
點評：本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．