Question

（本小題滿分16分）己知函數(shù)

（1）若 ，求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間;

（2）若關(guān)于x的不等式 恒成立，求整數(shù) a的最小值:

（3）若 ，正實(shí)數(shù) 滿足 ，證明:

Answer 1

（1），（2）2，（3）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意首先明確定義域，正確求導(dǎo)：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.002.png">，所以，由，得 ，（2）不等式恒成立問(wèn)題一般利用變量分離法：?jiǎn)栴}等價(jià)于在上恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，令根為，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．

，所以整數(shù)的最小值為2．（3）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可：由，即

從而，利用導(dǎo)數(shù)求左邊函數(shù)最小值1，所以，解得

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.002.png">，所以， 1分

此時(shí)，

2分

由，得，

又，所以．

所以的單調(diào)減區(qū)間為． 4分

（2）方法一：令，

所以．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.031.png">，所以．

所以在上是遞增函數(shù)，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.035.png">，

所以關(guān)于的不等式不能恒成立． 6分

當(dāng)時(shí)，，

令，得．

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．

故函數(shù)的最大值為．

8分

令，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.048.png">，，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.050.png">在是減函數(shù)．

所以當(dāng)時(shí)，．

所以整數(shù)的最小值為2． 10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，

問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立．

令，只要． 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.057.png">，令，得．

設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.060.png">，所以在上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)的根為．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．

所以． 8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605340470554374_DA/SYS201506200605340470554374_DA.065.png">，

所以，此時(shí)，即．

所以，即整數(shù)的最小值為2． 10分

（3）當(dāng)時(shí)，

由，即

從而 13分

令，則由得，

可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以， 15分

所以，

因此成立． 16分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、函數(shù)最值