Question

8．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n≠0，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：$（{\frac{1}{a_n}}）$是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_n•a_n+1，{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）由題意化簡(jiǎn)已知的式子，由條件求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的首項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；
（2）由（1）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，化簡(jiǎn)后代入b_n化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）∵a_n-1-a_n=2a_n•a_n-1（n≥2），a_n≠0，
∴兩邊同除a_na_n-1，得$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=2$（n≥2），
又a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）知：$\frac{1}{a_n}=3+（{n-1}）•2=2n+1$，
∴${a_n}=\frac{1}{2n+1}$…（8分）
∴${b_n}={a_n}•{a_{n+1}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$），
則${S}_{n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）=\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{6}$…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于中檔題．