Question

（2012•張掖模擬）雙曲線x²-y²=1的一條漸近線與曲線y=

1

3

x3+a相切，則a的值為（　�。�

• A．2
• B．-

  2

  3

• C．

  2

  3

• D．±

  2

  3

Answer 1

分析：由于雙曲線x²-y²=1的條漸近線方程為y=±x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

1

3

m3+a），由函數(shù)y=

1

3

x3+a在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率可得 m²=1，求得 m 的值，再把切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程求得a的值．

解答：解：由于雙曲線x²-y²=1的條漸近線方程為y=±x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

1

3

m3+a），
∵y′=x²，
由函數(shù)y=

1

3

x3+a在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率可得 m²=1，m=±1．
當(dāng) m=1，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

1

3

+a），代入條漸近線方程為y=x 可得 

1

3

+a=1，a=

2

3

．
當(dāng) m=-1，切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-

1

3

+a），代入條漸近線方程為y=x 可得-

1

3

+a=-1，a=-

2

3

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．