Question

（本小題滿分12分）設(shè)橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1、F2，點D在橢圓上，DF1⊥F1F2，，△DF1F2的面積為．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線互相垂直并分別過不同的焦點，求出這個圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）x2+(y－)2=．

【解析】

試題分析：（1）由題設(shè)知F1(－c, 0)，F(xiàn)2(c, 0)其中,

由,結(jié)合條件△DF1F2的面積為，可求c的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得a,b的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）假設(shè)存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點為A(x0, y0)，B(－x0, y0)利用A(x0, y0)，B(－x0, y0)在圓上及確定交點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓的方程．

試題解析：（1）設(shè)F1(－c, 0)，F(xiàn)2(c, 0),|DF1|=,又 , ，

∴，∴a=，b=1，∴橢圓方形為．

（2）設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓交于A(x0, y0)，B(－x0, y0)， F1A，F(xiàn)2B是圓C的兩條切線，

F1(－1, 0)，F(xiàn)2(1, 0)，=(x0+1, y0)， =(－x0－1, y0)，，

∴－(x0+1)2+y02=0 即y02=(x0+1)2 ………………①

而+y02=1 ………………②

由①②得：

∴x0=，y0=，∴A()，B()

設(shè)圓心為C(0, m)，則，，

，．

∴圓心C(0,)，半徑r =，∴圓方程為x2+(y－)2=．

考點：圓的方程，直線雨啊橢圓的位置關(guān)系．

考點分析： 考點1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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