Question

11．已知A、B是單位圓O上的點，且點B在第二象限，點C是圓O與x軸正半軸的交點，點A的坐標(biāo)為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，若△AOB為正三角形．
（Ⅰ）若設(shè)∠COA=θ，求sin2θ的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)A的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義可知cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，利用二倍角公式求sin2θ的值；
（Ⅱ）利用角的變換，化簡cos∠COB=cos（∠COA+60°）展開，即可求cos∠COB．

解答 解：（1）因為A點的坐標(biāo)為$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，根據(jù)三角函數(shù)定義可知cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，…（3）分
∴sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$．…（6）分
（2）因為三角形AOB為正三角形，所以∠AOB=60°，
cos∠COA=$\frac{3}{5}$，sin∠COA=$\frac{4}{5}$，
所以cos∠COB=cos（∠COA+60°）=cos∠COAcos60°-sin∠COAsin60°=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．…（12）分

點評 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的定義，解答變換的技巧，兩角和的余弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．