Question

設函數(shù)f（x）=x²-alnx與的圖象分別交直線x=1于點A，B，且曲線y=f（x）在點A處的切線與曲線y=g（x）在點B處的切線平行（斜率相等）．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的表達式；
（2）當a＞1時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）當a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²-alnx，得，所以f^′（1）=2-a．
由，得，所以．
又由題意可得f'（1）=g'（1），
即，故a=2，或．
所以當a=2時，f（x）=x²-2lnx，；
當時，，．
（2）當a＞1時，a=2，，
函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞）．

=．
由x＞0，得，
故當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最小值為．
（3）因為a＜1，所以，此時，，
當時，由，得，
f（x）在上為減函數(shù)，．
當時，由，得，
g（x）在上為增函數(shù)，，且．
要使不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，當時，m為任意實數(shù)；
當時，不等式f（x）≥m•g（x）化為，
而．
所以．
所以當a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立的實數(shù)m的取值范圍為．
分析：（1）求出函數(shù)f（x）和g（x）的導函數(shù)并求出它們在x=1的導數(shù)值，由導數(shù)值相等求出a的值則兩個函數(shù)的解析式可求；
（2）把a=2代入兩個函數(shù)解析式，求出函數(shù)h（x），求導后把導函數(shù)進行因式分解，然后由x=1對定義域分段，求出導函數(shù)在兩段內的符號，判出單調性，從而求得函數(shù)h（x）的最小值；
（3）把a=分別代入函數(shù)f（x）和g（x）的解析式，分別求出導函數(shù)后判斷各自導函數(shù)在上的符號，由導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調性，進一步得到函數(shù)f（x）在上的最小值和函數(shù)g（x）在上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分離參數(shù)m后求出的最小值，則實數(shù)m的取值范圍可求．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，訓練了利用分離變量求參數(shù)的取值范圍，考查了學生的運算能力，在分類討論時，此題對細節(jié)的分類要求較高，屬難度較大的題目．