Question

【題目】已知：在四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，是等邊三角形，平面平面.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分別證明和即可得出平面；

（Ⅱ）以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面、平面的法向量、，利用得出二面角的余弦值。

解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).

，

四邊形與四邊形均為菱形

，

為等邊三角形，為中點(diǎn)

平面平面且平面平面.

平面且

平面

平面

，分別為， 的中點(diǎn)

又

平面

平面

（Ⅱ）取的中點(diǎn)為，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，.

,.

設(shè)平面的一法向量.

由 .令，則.

由（Ⅰ）可知，平面的一個(gè)法向量.

二面角的平面角的余弦值.