Question

3．如圖1，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD=3BC=3，CE=1，將△CDE沿CE折起得到四棱錐F-ABCE（如圖2），G是AF的中點．
（1）求證：BG∥平面FCE；
（2）當平面PCE⊥平面ABCE時，求三棱錐F-BEG的體積．

Answer 1

分析 （1）取EF中點H，連接GH，使得GH平行且等于$\frac{1}{2}$AE=1，證明四邊形GHCB是平行四邊形，可得BG∥CH，即可證明BG∥平面FCE；
（2）當平面PCE⊥平面ABCE時，EF⊥平面ABCE，利用分割法求三棱錐F-BEG的體積．

解答 （1）證明：∵CE⊥AD，BC=1，AD=3，
∴DE=1，AE=2，
取EF中點H，連接GH，使得GH平行且等于$\frac{1}{2}$AE=1，∴GH平行且等于BC，
∴四邊形GHCB是平行四邊形，
∴BG∥CH，
∵BG?平面FCE，CH?平面FCE，
∴BG∥平面FCE；
（2）當平面PCE⊥平面ABCE時，EF⊥平面ABCE．
S_△ABE=$\frac{1}{2}AE•h$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
過G作GT⊥AE，則V_G-ABE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$，V_F-BCE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$，
∴V_F-BEG=V_F-ABCE-V_G-ABE-V_F-BCE=$\frac{1}{2}×1×\frac{（1+3）×1}{2}$-$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．