Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線：，求的值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的范圍．

Answer 1

【答案】(1)或．(2)或．

【解析】試題分析：（1）求得，根據(jù)在點(diǎn)處垂直于直線 ，得到

，即可求解實(shí)數(shù)的值；

（2）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可分、和三種情況討論，由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，列出不等式，即可求解的取值范圍．

試題解析：

（1），

因?yàn)?/span>在點(diǎn)處垂直于直線 ，

所以，，解得或．

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．

①當(dāng)時(shí)， ，無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，得．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴．

因?yàn)?/span>，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)→時(shí)，，，

∴若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，需，即，；

③當(dāng)時(shí)，令，得．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴．

當(dāng)→和當(dāng)→，均有，

若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，需時(shí)，即，．

綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，的取值范圍是或．