Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+x³-+cx有三個極值點．

（Ⅰ）證明：-27＜c＜5;

（Ⅱ）若存在c,使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=x⁴+x³-x²+cx有三個極值點，所以

f′（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個互異的實根．

設g（x）=x³+3x²-9x+c，則g′（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）．

當x＜-3時，g′（x）＞0,g（x）在（-∞,-3）上為增函數(shù),

當-3＜x＜1時，g′（x） ＜0,g（x）在（-3,1）上為減函數(shù),

當x＞1時，g′（x）＞0,g（x）在（1,+ ∞）上為增函數(shù)．

所以函數(shù)g（x）在x=-3時取極大值，在x=1時取極小值．

當g（-3） ≤0或g（1） ≥0時，g（x）=0最多只有兩個不同實根，因為g（x）=0有三個不同實根，所以g（-3）＞0，且g（1）＜0．即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5．

故-27＜c＜5．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的證明可知，當-27＜c＜5時，f（x）有三個極值點，不妨設為x₁,x₂,x₃（x₁＜x₂＜x₃）,則f′（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．

所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，x₁],[x₂,x₃]．

若f（x）在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減，則[a,a+2]（- ∞,x₁],或[a,a+2][x₂,x₃]．

若[a,a+2] （-∞,x₁],則a+2≤x₁,由（Ⅰ）知，x₁＜-3，于是a＜-5．

若[a,a+2] [x₂,x₃],則a≥x₂,且a+2≤x₃．由（Ⅰ）知，-3＜x₂＜1．

又f′（x）=x³+3x²-9x+c，當c=-27時，f′（x）=（x-3）（x+3）²;當c=5時，

f′（x）=（x+5）（x-1）²．

因此，當-27＜c＜5時，1＜x₃＜3．

所以a＜-3，且a+2＜3．即-3＜a＜1．

故a＜-5，或-3＜a＜1．

反之，當a＜-5，或-3＜a＜1時，總可找到c（-27,5）,使f（x）在區(qū)間[a,a+2]上單調(diào)遞減．

綜上所述，a的取值范圍是（-∞,-5）（-3,1）．