Question

已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線x²-=1于A、B兩點，且=（+）.

（1）求直線AB的方程；

（2）若過N的直線交雙曲線于C、D兩點，且·=0，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

（1）直線AB的方程為y=x+1（2）A、B、C、D四點共圓

解析:

（1）由題意知直線AB的斜率存在.

設直線AB：y=k（x-1）+2，代入x²-=1

得(2-k²)x²-2k(2-k)x-(2-k)²-2=0.                                                                  (*)

令A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),則x₁、x₂是方程（*）的兩根，

∴2-k²≠0且x₁+x₂=.

∵=（+），∴N是AB的中點，∴=1,

∴k（2-k）=-k²+2,k=1,

∴直線AB的方程為y=x+1.

（2）將k=1代入方程（*）得x²-2x-3=0,

解得x=-1或x=3,

∴不妨設A（-1，0），B（3，4）.

∵·=0，∴CD垂直平分AB，

∴CD所在直線方程為y=-(x-1)+2,

即y=3-x,代入雙曲線方程整理得x²+6x-11=0,

令C（x₃,y₃）,D(x₄,y₄)及CD中點M（x₀,y₀）

則x₃+x₄=-6,x₃·x₄=-11,

∴x₀==-3，y₀=6，即M(-3,6).

|CD|=|x₃-x₄|==4；

|MC|=|MD|=|CD|=2，

|MA|=|MB|=2，

即A、B、C、D到M距離相等，∴A、B、C、D四點共圓.