Question

一塊直徑為30 cm的圓形鐵板，已經(jīng)截去直徑分別為20 cm，10 cm的圓形鐵板各一塊，現(xiàn)要求在所剩余的鐵板中，再截出同樣大小的鐵板兩塊，問：這兩塊鐵板的半徑最大有多少厘米？

Answer 1

思路分析：如圖，圓A與圓B為已截去的圓，則需要再截去的圓與圓A、圓B均相切.圖中的圓C是其中之一，所以可通過解三角形ABC來解決問題，在應(yīng)用兩圓的位置關(guān)系解題時(shí)，要注意兩圓外切時(shí)，圓心距是兩圓半徑的和，而兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距是兩圓半徑差的絕對值.

解：設(shè)大圓圓心為D，圓A與圓B外切且圓A、圓B都與圓D內(nèi)切，D在線段AB上，根據(jù)題意,所求的圓C與圓A、圓B都外切，且與圓D內(nèi)切.連結(jié)AC、AB、BC.

設(shè)所求最大圓的半徑為x，∠BAC=θ，則在△ABC中，AB=15，AC=10+x，BC=5+x，根據(jù)余弦定理有

cosθ=.

又在△ACD中,AD=5，AC=10+x，CD=15－x.

由余弦定理,得cosθ=.

∴7x²+40x－300=0?x₁=,x₂=－10(舍去),

即在剩余的鐵板中還可以截去半徑最大為cm的同樣大小的圓形鐵板兩塊.