Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有且只有個極值點時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）代入，對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)在區(qū)間有且只有兩個極值點，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間有且只有兩個零點，然后對分類討論，取滿足條件的的取值，即可求出的取值范圍.

（1）易知函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，，又，

設(shè)，

則恒成立，

在單調(diào)遞增，

又，則當(dāng)時，

當(dāng)時，

即函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；

（2）由，

可得，且，

設(shè)，

即，

又，

①當(dāng)時，

，即在單調(diào)遞增，

則當(dāng)時，當(dāng)時，

即在區(qū)間上有且只有個極值點，

故不滿足題意，

當(dāng)時，

，此時，

②當(dāng)時，

有，此時在恒成立，

同①可得在區(qū)間上有且只有個極值點，

故也不滿足題意，

③當(dāng)時，

有，設(shè)的兩根為，，

則有，，

故，

則時，時，

即函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

又，故，，

當(dāng)，即時，在無零點，

又在單調(diào)遞增，

即在區(qū)間上有且只有個極值點，

故不滿足題意，

當(dāng)，即時，

則使得，

且當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

即此時在區(qū)間上有且只有個極值點，

極值點為和，

故滿足題意，

綜上可得，符合條件的的取值范圍為.