Question

12．已知函數(shù)f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x．
（1）求函數(shù)f（x）在（2，f（2））處切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（x-1）（ae^x-1），對a討論，分a≤0時，a=$\frac{1}{e}$時，a＞$\frac{1}{e}$時，0＜a＜$\frac{1}{e}$時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ae^xx-2ae^x-$\frac{1}{2}$x²+x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=a（e^x+xe^x）-2ae^x-x+1=（x-1）（ae^x-1），
可得f（x）在（2，f（2））處切線斜率為ae²-1，切點為（2，0），
即有切線的方程為y-0=（ae²-1）（x-2），即為y=（ae²-1）（x-2）；
（2）由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x-1）（ae^x-1），
①當(dāng)a=0時，f′（x）=-（x-1），當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
②當(dāng)a＜0時，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
③當(dāng)a＞0時，若a=$\frac{1}{e}$，則f′（x）=（x-1）（e^x-1-1），
f（x）在R上遞增；
若a＞$\frac{1}{e}$，則f′（x）＞0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＞1或x＜ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得ln$\frac{1}{a}$＜x＜1；
若0＜a＜$\frac{1}{e}$，則f′（x）＞0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＞0，可得x＜1或x＞ln$\frac{1}{a}$；
f′（x）＜0即為（x-1）（x-ln$\frac{1}{a}$）＜0，可得1＜x＜ln$\frac{1}{a}$．
綜上可得，a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
a=$\frac{1}{e}$時，f（x）的增區(qū)間為R；
a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，ln$\frac{1}{a}$），
減區(qū)間為（ln$\frac{1}{a}$，1）；
0＜a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）的增區(qū)間為（ln$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，1），減區(qū)間為（1，ln$\frac{1}{a}$）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，注意運用分類討論的思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．