Question

在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，∠ABA₁=45°，∠CBC₁=60°，則∠A₁BC₁的余弦值是(　　)

A.                  B.                  C.                  D.

Answer 1

思路解析一：如圖所示，設(shè)長方體的棱長AA₁=a，

由∠ABA₁=45°，則A₁B₁=B₁B=C₁C=A₁A=a，

A₁B=AA₁=a.

又∠C₁BC=60°，

∴B₁C₁=BC=

BC₁=

在Rt△A₁B₁C₁中，A₁C₁=

在△A₁BC₁中，由余弦定理，得

cos∠A₁BC₁=

故∠A₁BC₁的余弦值為

思路解析二：因為平面A₁BC₁⊥平面C₁BB₁，

故可證cos∠A₁BC₁=cos∠A₁BB₁·cos∠C₁BB₁.

又∠ABA₁=45°，∠C₁BC=60°，所以∠A₁BB₁=90°-∠ABA₁=45°.

∠C₁BB₁=90°-∠C₁BC=30°，

從而cos∠A₁BC₁=cos45°·cos30°=.故選D.

答案：D