Question

（2011•渭南三模）定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f(x)=

1

x

，若方程f²（x）+bf（x）+c=0有5個不同的實(shí)根，則5根之和為

0

．

Answer 1

分析：先根據(jù)一元二次方程根的情況可判斷f（x）=常數(shù)a，一定是三個解，再根據(jù)f（x）的圖象可知f（x）=a有三解時，根據(jù)圖象的對稱性可知所求5根之和．

解答：解：定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f(x)=

1

x

，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，作出其圖象如圖所示，
設(shè)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有且只有5個不同的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅，
又f（x）=常數(shù)a，x最多三解．
而題目要求f²（x）+bf（x）+c=0有5解，即可推斷f（x）=a為三解！
算出x₃=0，x₂+x₄=0，x₁+x₅=0；
所以：x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=0；
故答案為：0．

點(diǎn)評：本題主要考查根的存在性及根的個數(shù)判斷、偶函數(shù)圖象的對稱性，考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用能力，以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．