Question

【題目】已知函數(shù)， (為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)設(shè)曲線在處的切線為，若與點(diǎn)的距離為，求的值；

(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)， 恒成立，試確定的取值范圍；

(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是否存在極值？若存在，請(qǐng)求出極值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2) (3)不存在

【解析】試題分析：

(1)該問切點(diǎn)橫坐標(biāo)已知,則利用切點(diǎn)在曲線上,帶入曲線即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)并得到在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點(diǎn),利用直線的點(diǎn)斜式即可求的切線的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合條件點(diǎn)到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.

(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進(jìn)行分離得到,則,再利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.

(3)根據(jù)極值的定義,函數(shù)在區(qū)間有零點(diǎn)且在零點(diǎn)附近的符號(hào)不同,求導(dǎo)可得,設(shè),求求導(dǎo)可以得到的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間恒為正數(shù),則函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增,即可得到函數(shù)進(jìn)而得到恒成立,即在區(qū)間上沒有零點(diǎn),進(jìn)而函數(shù)沒有極值.

試題解析：

（1）, .

在處的切線斜率為， 1分

∴切線的方程為，即. 3分

又切線與點(diǎn)距離為,所以，

解之得， 或5分

（2）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，

∴若，則為任意實(shí)數(shù)時(shí)， 恒成立； 6分

若 恒成立，即，在上恒成立， 7分

設(shè)則, 8分

當(dāng)時(shí)， ，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，則在上單調(diào)遞減；

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值， ， 9分

所以的取值范圍為.

綜上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為. 10分

（3）依題意, ，

所以, 2分

設(shè),則,當(dāng),

故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為，

即， 12分

又所以在上， ，

即在上不存在極值. 14分