Question

已知函數(shù)f（x）=2-（sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-，]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+），由此求得f（x）的周期．
（II）當x∈[-，]時，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的最值．
解答：解：（I）因為函數(shù)f（x）=2-（sinx-cosx）² =2-（3sin²x+cos²x-2sinxcosx）
=2-（1+2sin²x-sin2x）=1-2sin²x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+）．
所以，f（）=2sin（2×+）=2sin=，
所以，f（x）的周期為 T==π．
（II）當x∈[-，]時，2x∈[-，]，2x+∈[-，]，
所以，當2x+=，即當x=-時，函數(shù)取得最小值 f（-）=-1，
當2x+=，即當x=時，函數(shù)取得最大值 f（）=2．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．