Question

選修4-1；幾何證明選講
如圖，PA為⊙O的切線，PB為過圓心O的割線，PA=AB，以AB為直徑的圓交PB于C，交PA的延長線于D．
（Ⅰ）求證：AC=AD；
（Ⅱ）若PA=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）如圖，連接OA，由AB為圓O′的直徑得到BD⊥PD；再利用切線的性質可得OA⊥PD；利用平行線的性質及OA∥BD，可得∠1=∠3．利用半徑相等可知∠1=∠2，進而得到∠2=∠3，于是在圓O′中，，即可得出AC=AD．   
（Ⅱ）利用等邊對等角及PA=AB，可得∠P=∠2=∠3；利用三角形的內角和定理可得∠P+∠2+∠3=90°，可得∠P=∠2=30°，故OE=OA=OP．設⊙O的直徑為R，則PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16，可得R．
解答：解：（Ⅰ）如圖，連OA，因AB為圓O′的直徑，有BD⊥PD，
又PA為圓O的切線，A為切點，有OA⊥PD，
故OA∥BD，∠1=∠3，
又OA=OB，可知∠1=∠2，所以∠2=∠3，
在圓O′中，，于是AC=AD．   
（Ⅱ）因PA=AB，故∠P=∠2=∠3，在Rt△BDP中，
∠P+∠2+∠3=90°，所以∠P=∠2=30°，
故OE=OA=OP．
設⊙O的直徑為R，則PE=R，PB=3R，于是PA²=PE•PB=3R²=16
可得R=，故⊙O的直徑為．
點評：熟練掌握圓的性質、切線的性質、同圓中的相等圓周角與所對的弧的關系、含30°角的直角三角形的性質、切割線定理等是解題的關鍵．