Question

有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最�。�

Answer 1

解法一：根據(jù)題意知,只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置,才能使總運(yùn)費(fèi)最省,設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km,則?

∵BD=40,AC=50-x,?

∴BC=.又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元,依題意有

y=3a（50-x）+5a（0＜x＜50）.

y′=-3a+,?

令y′=0,解得x=30.

在（0,50）上,y只有一個(gè)極值點(diǎn),根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義,

函數(shù)在x=30（km）處取得最小值,?

此時(shí)AC=50-x=20（km）.

∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省.

解法二：設(shè)∠BCD=θ,則BC=,?

CD=40·cotθ,（0＜θ＜）,?

∴AC=50-40·cotθ.?

設(shè)總的水管費(fèi)用為f（θ）,依題意,有?

f（θ）=3a（50-40·cotθ）+5a·

=150a+40a·，?

∴f（θ）=

=40a·.

令f′（θ）=0,得cosθ=.?

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,當(dāng)cosθ=時(shí),?

函數(shù)取得最小值,此時(shí)sinθ=,?

∴cotθ=,?

∴AC=50-40cotθ=20（km）,

即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可供水管費(fèi)用最省.