Question

如圖，已知△ABC為等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是AE的中點(diǎn)．求證：

(1)平面BDM⊥平面ACE；

(2)平面ADE⊥平面ACE．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝EC．因?yàn)镈B∥EC，所以MN∥DB．所以點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)．因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN．在等邊三角形ABC中，N為AC的中點(diǎn)，則AC⊥BN．又AC∩EC＝C，所以BN⊥平面ACE．因?yàn)锽N平面BDMN，所以平面BDMN⊥平面ACE，即平面BDM⊥平面ACE． 　　(2)因?yàn)镈B∥EC，且DB＝EC，MN∥EC，且MN＝EC，所以四邊形BDMN為平行四邊形，所以DM∥BN． 　　由(1)知BN⊥平面ACE， 　　所以DM⊥平面ACE． 　　又DM平面ADE， 　　所以平面ADE⊥平面ACE．