Question

用函數(shù)單調(diào)性定義證明，函數(shù)f（x）=x³+在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：利用原始的定義進(jìn)行證明，在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數(shù)f（x）=x³+進(jìn)行證明．
解答：證明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=x₂³-x₁³+=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
當(dāng)x₁x₂＜0時(shí)，有x₁²+x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-x₁x₂＞0；
當(dāng)x₁x₂≥0時(shí)，有x₁²+x₁x₂+x₂²＞0；
∴f（x₂）-f（x₁=（x₂-x₁）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+＞0．
即f（x₂）＞f（x₁）
所以，函數(shù)f（x）=x³+在[1，+∞）上是減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用原始定義進(jìn)行證明，是一道基礎(chǔ)題．