Question

18．設(shè)f（x）=|3x-2|+|x-2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；
（Ⅱ）對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x，有f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分情況將原不等式絕對(duì)值符號(hào)去掉，然后求解；
（Ⅱ）兩邊同除以|x|，然后求出左邊的最小值，解關(guān)于m的不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x≤$\frac{2}{3}$時(shí)，原不等式可化為-（3x-2）-（x-2）≤8，解得x≥-1，故此時(shí)-1≤x≤$\frac{2}{3}$；
當(dāng)$\frac{2}{3}$＜x≤2時(shí)，原不等式可化為3x-2-（x-2）≤8，解得x≤4，故此時(shí)$\frac{2}{3}$＜x≤2；
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為3x-2+x-2≤8，即x≤3，故此時(shí)2＜x≤3．
綜上可得，原不等式的解集為{x|-1≤x≤3}．
（Ⅱ）對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x，有f（x）≥（m²-m+2）•|x|恒成立，
則不等式可化為：m²-m+2≤|3-$\frac{2}{x}$|+|1-$\frac{2}{x}$|恒成立．
因?yàn)閨3-$\frac{2}{x}$|+|1-$\frac{2}{x}$|≥|3-$\frac{2}{x}$+$\frac{2}{x}$-1|=2，
所以要使原式恒成立，只需m²-m+2≤2即可，即m²-m≤0．
解得0≤m≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法以及不等式恒成立問(wèn)題的解題思路，一般的不等式恒成立問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解．本題還考查了分類討論思想的應(yīng)用．