Question

15．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ，則a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=4ⁿ+2ⁿ．

Answer 1

分析 設(shè)S_n+1=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，倒敘可得：S_n+1=a_n+1C_nⁿ+${a}_{n}{∁}_{n}^{n-1}$+…+a₂C_n¹+a₁C_n⁰，相加可得：2S_n+1=（a₁+a_n+1）$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+…+{∁}_{n}^{n}）$=（2+2ⁿ⁺¹）×2ⁿ，即可得出．

解答 解：設(shè)S_n+1=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，
則S_n+1=a_n+1C_nⁿ+${a}_{n}{∁}_{n}^{n-1}$+…+a₂C_n¹+a₁C_n⁰，
∴2S_n+1=（a₁+a_n+1）$（{∁}_{n}^{0}+{∁}_{n}^{1}+…+{∁}_{n}^{n}）$=（2+2ⁿ⁺¹）×2ⁿ，
∴S_n+1=（1+2ⁿ）×2ⁿ=4ⁿ+2ⁿ．
故答案為：4ⁿ+2ⁿ．

點評 本題考查了二項式定理、等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．