Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-alnx與g（x）=

1

a

x-

x

的圖象分別交直線x=1于點(diǎn)A，B，且曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切
線與曲線y=g（x）在點(diǎn)B處的切線平行．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的表達(dá)式；        
（2）當(dāng)a＞1時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=

1

2

時，不等式f（x）≥m．g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）由f（x）=x²-alnx，得f′（x）=

2x2-a

x

，所以f′（1）=2-a．
由g（x）=

1

a

x-

x

，得g′（x）=

2 x -a

2a x

，所以g′（1）=

2-a

2a

．
又由題意可得f'（1）=g'（1），
即2-a=

2-a

2a

，故a=2，或a=

1

2

所以當(dāng)a=2時，f（x）=x²-2lnx，g（x）=

1

2

x-

x

；
當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x²-

1

2

lnx，g（x）=2x-

x

．
（2）當(dāng)a＞1時，a=2，h（x）=f（x）-g（x）=x²-2lnx-

1

2

x+

x

，
函數(shù)h（x）的定義域為（0，+∞）．
h′（x）=2x-

2

x

-

1

2

+

1

2 x

=

2(x-1)(x+1)

x

-

x -1

2 x

=（

x

-1）[

4(x x + x +x+1)- x

2x

]．
由x＞0，得

4(x x + x +x+1)- x

2x

＞0，
故當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增，
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（1）=1-2ln1-

1

2

+1=

3

2

．
（3）當(dāng)a=

1

2

時，f（x）=x²-

1

2

lnx，g（x）=2x-

x

．
當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

）上時，f′（x）=

4x2-1

2x

＜0，f（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上為減函數(shù)
f（x）≥f（

1

2

）=

1

4

+

1

2

ln2＞0，
當(dāng)x∈[

1

4

，

1

2

）上時，由g′（x）=

4 x -1

2 x

＞0，
g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上為增函數(shù)，g（x）≤g（

1

2

）=1-

2

2

，且g（x）≥g（

1

4

）=0
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]]上恒成立，當(dāng)x=

1

4

時，m為任意實數(shù)；
當(dāng)x∈（

1

4

，

1

2

]]時，不等式f（x）≥m•g（x）化為m≤

f(x)

g(x)

，
而[

f(x)

g(x)

]min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

2+ 2

4

ln4e．
所以m≤

2+ 2

4

ln4e
所以當(dāng)a＜1時，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立的實數(shù)m的取值范圍為（-∞，

2+ 2

4

ln4e]．