Question

已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為在橢圓C上且|PF|=．
（I）求橢圓C的方程； 
（II）已知圓O：x²+y²=1的一條切線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且切線AB與圓D的切點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，求△AQF周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）題目給出了橢圓的準(zhǔn)線方程，則有，給出了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離，又給出了點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，則可得到橢圓的離心率，由準(zhǔn)線方程和離心率的值聯(lián)立可求a、b、c，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出圓的切線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)A，在直角三角形OQA中把|AQ|用A到原點(diǎn)距離與圓的半徑表示，結(jié)合點(diǎn)A在橢圓上把
|AQ|化簡(jiǎn)，由焦半徑公式表示出|AF|，可求得|AQ|+|AF|為定值，要使△AQF的周長(zhǎng)最小，則只要|QF|最小即可，顯然當(dāng)Q是圓與x軸的交點(diǎn)時(shí)|QF|最小，則最小值可求．
解答：解：（Ⅰ）由準(zhǔn)線方程得①，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為，
又P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離|PF|=，所以②，聯(lián)立①②得，a=2，c=，又b²=a²-c²，∴b=1．
故橢圓C的方程為；
（Ⅱ）如圖，

設(shè)點(diǎn)A（x，y），則|AQ|=，
又由于點(diǎn)A在橢圓上，則，所以，
所以|AQ|=  （x＞0，因?yàn)榍悬c(diǎn)Q在y軸右側(cè)），
令由焦半徑公式可得|AF|=，
于是|AQ|+|AF|=．
要使△AQF的周長(zhǎng)最小，則只要|QF|最小即可，
顯然當(dāng)Q的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，|QF|最短，為．
所以，△AQF周長(zhǎng)的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與橢圓的關(guān)系，采用了設(shè)而不求的方法，運(yùn)用了整體運(yùn)算思想，求三角形面積最小值時(shí)運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，題目綜合考查了學(xué)生綜合思維能力和靈活計(jì)算能力，屬難題．