Question

15．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的一點，已知$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則△F₁PF₂的面積為（　　）

• A． 9
• B． 12
• C． 10
• D． 8

Answer 1

分析 $\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，設$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$=m，$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$=n，則$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2a}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=5，b=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=4．
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
設$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|$=m，$|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$=n，
則$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2×5}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=（2×4）^{2}}\end{array}\right.$，
解得mn=18，
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$mn=9．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、向量垂直與數(shù)量積的關系、勾股定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．